EГЭ по профильной математике: разбор с преподавателем

Преподаватель математики и физики Моисеенко Александр Алексеевич разбирает специально для «Поступи Онлайн» все основные нюансы заданий ЕГЭ по профильной математике 2024 года. Вы можете уже сейчас посмотреть все варианты поступления в вуз с ЕГЭ по профильной математике.

Профильный ЕГЭ по математике состоит из 2 частей, включающих в себя 19 заданий (12 из первой части и 7 из второй части). Во второй части ответы нужно записывать в развернутой форме на бланке ответов № 2.

Решить их нужно за 3 часа 55 минут. Утвержденная дата экзамена — 31 мая 2024 года.

Все бланки ЕГЭ заполняются яркими чёрными чернилами. Допускается использование гелевой, капиллярной или перьевой ручек. При выполнении заданий можно пользоваться черновиком. Записи в черновике не учитываются при оценивании работы.

Вариант ЕГЭ по математике профильного уровня, как правило, включает в себя 5 обобщенных и взаимосвязанных областей науки:

• алгебра,
• уравнения и неравенства,
• функции; начала математического анализа,
• геометрия,
• элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей.

Все эти разделы входят в программу школьного курса.

Как оцениваются задания ЕГЭ по профильной математике

• № 1-12 оцениваются в 1 первичный балл,
• № 13, 15, 16 оцениваются в 2 первичных балла,
• № 14 и 17 оцениваются в 3 первичных балла,
• № 18 и 19 оцениваются в 4 первичных балла каждое.

Максимальный результат, который вы можете получить на ЕГЭ по профильной математике, — 32 первичных балла. Посмотрите шкалу перевода баллов по профильной математике на 2024 год.

Минимальный порог для поступления в вузы и получения аттестата — от 27 баллов.

Баллы для поступления в подведомственные вузы Минобрнауки — от 39 баллов.

С чего начинать решение варианта по профильной математике

Желательно идти планомерно с 1 задания. Если решение не получается, не останавливаться более 10 минут на одном задачи.

Начинайте с самой простой задачи, постепенно продвигаясь к самой сложной. На экзамене важно количество решенных заданий, а не их сложность.

Спешка и невнимательность — наши главные враги, поэтому даже для невысокого балла нужно грамотное распределение времени. Чтобы набрать 70 или менее вторичных баллов, вам большую часть внимания нужно сосредоточить на первой части.

Например, в 2023 году математику профильного уровня сдавали 283 тысячи человек — средний балл был 55,62. Максимальный результат в 100 баллов получили лишь 233 человека.

Помните про время. При подготовке полезно выяснить, сколько времени у вас уходит на решение каждой задачи. Это не только снимет стресс на экзамене, но и позволит выстроить наиболее эффективную стратегию.

Пример плана по набору от 70 баллов на ЕГЭ по профильной математике

Если вы хотите получить балл выше 70, у вас уже не будет права на ошибку в заданиях с кратким ответом.

1. С 10:00 до 10:40 полностью решаем задания из 1 части и переносим их в бланки ответов.
2. Немного отдыхаем, пьем воду и приступаем к заданиям с развернутым ответом.
3. С 10:50 до 12:00 решаем самые легкие задания из второй части (это задания № 13, 15, 17) и также сразу переносим всё в бланки, чтобы потом не путаться в ответах. Если вы решите все эти задания правильно или же с парой ошибок, вы уже получите желаемый балл.
4. После того, как выполните задания № 13, 15, 17, внимательно посмотрите на остальные задания части 2. Если вам показалось что-то относительно простым, стоит попробовать решить.

Важно! К каким бы вы баллам ни стремились, переписывайте сразу все ответы в бланки. Так вы не будете беспокоиться, что в конце в спешке могли что-то неправильно написать.

Самые частые ошибки по профильной математике и как их не сделать

Сегодня для школьника самое сложное — это геометрия. И еще, конечно, задачи с параметрами. Для их решения требуется именно понимание, а все необходимые для этого знания изложены в курсе школьной математики.

Пример:

• Центральный угол на 32° больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.

Геометрические задачи плохо поддаются алгоритмизации, каждая из них по-своему уникальна. Для успешного решения надо не просто выучить большое количество теорем, свойств, признаков, но и видеть их в конкретной задаче. Статистика показывает, что большинство школьников, судя по всему, владеет этими навыками недостаточно.

К основным ошибкам можно отнести:

1. Ошибки в вычислениях (неправильное умножение дробей, деление больших чисел, путаница со знаками + и — в выражениях, системах , уравнениях и неравенствах).
2. Ошибки в алгоритмах и методах решения (участники получают нулевые баллы из-за проблем с невнимательным чтением неравенства, непониманием алгоритма решения совокупностей и систем логарифмических неравенств).
3. Ошибки в решении дробно-рациональных неравенств (когда ученики забывают про знаменатель; всегда проверяйте решение и научитесь правильно находить последовательность в решении алгоритмов).
4. Ошибки в чтении и построении чертежа (такое случается, когда ученик не понимает взаимосвязь элементов геометрических конструкций, а также не обладает основными пространственными представлениями; тренируйтесь находить взаимосвязь элементов геометрических конструкций).
5. Ошибки в заданиях по тригонометрии (часто совершают из-за невнимательности и неаккуратности, а также отсутствия знаний по большому количеству теоретических фактов и способности их применять на практике).

Например:

Самые повторяющиеся ошибки связаны, в первую очередь, с нахождением тригонометрического знака — чаще всего потеря знака «минус».

Подводит незнание свойств четных и нечетных функций. Школьники забывают, что косинус-функция четная, а вот синус, тангенс и котангенс нечетные.

При решении простейшего тригонометрического уравнения допущена ошибка. Корень записан неверно. Задание оценивается в 0 баллов.

Есть несколько рекомендаций, чтобы избежать ошибок из-за невнимательного прочтения задания. Это и будет алгоритмом решения:

• прочтите условие,
• выпишите данные величины, сделайте рисунок в геометрическом задании,
• установите и запишите отношения и взаимосвязи между известными данными,
• выпишите, что найти, ответ на какой вопрос нужно дать,
• определите тип задания,
• сформулируйте содержание и последовательность действий.

Разбор сложных заданий по профильной математике; на каких заданиях чаще всего теряют баллы и почему

Обычно сложности начинаются при решении 2 части ЕГЭ.

В заданиях № 13 и 15 важно правильно написать ОДЗ и в конце задачи не забыть проверить корни уравнения, а для неравенства (задние № 15) с помощью метода интервалов выбрать все области решения с ранее найденным ОДЗ.

Если не помните всех ОДЗ функции, то можно записать слово «ограничения» к примеру, указав, что нельзя делить на ноль (x+3≠0).

Одна из самых распространенных ошибок — неправильная расстановка знаков на координатной прямой.

Согласно открытым данным из ФИПИ за ЕГЭ 2023 года, можно увидеть, что во второй части процент правильных решений резко падает и совсем плохо обстоят дела с планиметрией, стереометрией и параметром.

Задания № 14 и 17 по стереометрии и планиметрии отличаются повышенным уровнем сложности и требуют развернутого ответа. Каждое из заданий имеет по 2 пункта: в первом нужно доказать, во втором — произвести вычисления.

Самые распространенные ошибки касаются первого пункта, так как у участников выявились проблемы с умением обосновывать и доказывать.

Есть проблемы и в оформлении доказательств.

Например:

В подобных задачах основная трудность заключается в отсутствии понимания логики построения доказательства. Поэтому при написании решения указываем теорему, которую использовали, либо ее формулировку.

Важно! Если не помните точное название, то лучше написать формулировку. Например: «теорема Пифагора и теорема, обратная теореме Пифагора, — две разные теоремы».

Тренируйтесь в доказательной базе, повышайте математическую культуру, учитесь обосновывать выбранные методы и способы их решения.

Решение задания № 16 в ЕГЭ по профильной математике (экономическая задача)

Что требуется для успешного решения задания № 16?

1. Понимание всех встречающихся в условии терминов (вклад, кредит, начисление процентов, долг и т. д.).
2. Повторить темы: проценты, арифметическая и геометрическая прогрессии, наибольшее и наименьшее значение функции.

Пример задания № 16:

Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят 10t тыс. рублей в конце года t (t  =  1; 2;...). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться на 24%. В конце какого года пенсионному фонду следует продать ценные бумаги, чтобы в конце двадцатого года сумма на его счёте была наибольшей?

Решение задания № 16:

Главное — не запутаться при составлении членов прогрессии.

Если пенсионный фонд продаст ценные бумаги в конце года k, то в конце двадцатого года на его счёте будет: ак тыс. рублей, согласно данной прогрессии. Сравним числа ak и ak+1:

Ответ на задание № 16: 5.

В задачах на оптимизацию нужно уметь работать с функциями: брать производную, находить точки экстремумов.

Прежде всего, нужно внимательно читать условие, ведь одна пропущенная мелкая деталь может привести к полностью неверному решению всего задания. Более того, такая тренировка пригодится выпускникам и в жизни, если они захотят взять кредит и не прогадать с условиями.

Решение задания № 18 в ЕГЭ по профильной математике (параметр) на ЕГЭ по профильной математике

Чтобы на ЕГЭ уверенно справиться с параметром, нужно решить не менее 50 задач разного плана с открытого банка ФИПИ.

Пример задания № 18:

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых неравенство |3x − 5a − 3|≤ 7 − 5a− x имеет единственное решение.

Обычно возможная ошибка при решении данного неравенства кроется в неумении применять свойства модуля и не дочитывать до конца текст задания,

Двойное неравенство имеет единственное решение, если

Единственным ответом параметра а для этой задачи будет число 0,9.

К основным ошибкам в № 18 можно отнести незнание, как можно решить графически систему и как анализировать ход решения задачи.
К примеру, уравнение в четвёртой степени может напугать ученика, некомпетентность в умении делать замену, и отсутствие теории по модулю могут привести к потере баллов.

Пример уравнения:

2×4+ 2×2|2a-4|+3a2-16a+16=0

В условии сказано, что нужно найти а, при котором уравнение имеет ровно 4 различных решения. Следовательно, сделаем замену x2=t, далее ищем корни через теорему Виета и замечаем, что только при таком условии может быть более двух решений (3a2-16a+16)/2>0

Есть два универсальных правила для решения задач с параметрами

• Если в задаче с параметром можно сделать замену переменной — сделайте замену переменной.
• Если задачу с параметром можно решить, «нарисовав», — рисуйте. То есть применяйте графический метод.

Решение задания № 19 в ЕГЭ по профильной математике (построениее математических моделей)

Традиционно № 19 содержит в себе три подзадачи: пункты а), б) и в).

В пункте а) обычно предлагается решить несложную задачу на построение примера. За любой правильный пример (а их может быть и несколько!) эксперт поставит максимум 1 первичный балл. Особых обоснований в этом пункте не требуется, нужно лишь показать, что приведённый пример действительно удовлетворяет условию задачи.

Пункт б) существенно отличается от пункта а). В нём, как правило, требуется строго доказать, что требуемый пример построить нельзя. Стоит этот пункт тоже 1 балл.

Пункт в), оцениваемый в 2 первичных балла, уже сложнее. В нём требуется построение математической модели, обладающей следующими характеристиками (как вариант, задача на максимум или минимум выражения, принимающего дискретные значения), а также доказательство того, что именно этот пример, а не какой-то другой обладает данными характеристиками.

Задача № 19 на построение простейшей математической модели требует организованного перебора вариантов или логического анализа.

Для выполнения этого задания определенных алгоритмов не существует, все рассуждения должны быть обоснованными, а приводимые примеры убедительными и удовлетворяющими всем условиям задачи.

Так что советуем повторить:

• Основные признаки делимости (на 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11).
• Изучить некоторые приёмы доказательств невозможности (от противного, принцип Дирихле, чётность—нечётность).
• Основные формулы, связанные с арифметической прогрессией и средним арифметическим.

В заключении можно сделать вывод, что условия задачи № 19 ЕГЭ по математике охватывают разнообразные темы, но все они основаны на материале школьного курса математики и в большинстве случаев не выходят за пределы программы для учеников 5-9 классов. Например, пункт а) задачи № 19 решается достаточно легко и может быть доступен даже ученику 6 класса.

Тем не менее, задача № 19 в целом имеет творческий характер и требует от учащихся использования изобретательности, логических рассуждений и хорошего числового мышления при решении. Поэтому учителям математики важно объяснить учащимся особенности этой задачи и предоставить им необходимый объем информации и навыков для успешного решения.

Не ошибаться — это навык, который можно проработать путём решения многочисленных задач, то есть практики. Рассмотренные ранее ошибки в большей степени зависят от внимательности и ответственного подхода к заданию.

Не ленитесь и усердно готовьтесь! Удачи вам на экзаменах!

Текст подготовил Моисеенко Александр Алексеевич