Самые частые ошибки на ЕГЭ по профильной математике

В каких заданиях на ЕГЭ по профильной математике школьники ошибаются чаще всего? Как правильно решать эти задания в 2024 году? Рассказывает репетитор по профильной математике из онлайн-школы «100балльный репетитор».

Эрик Ковалев, репетитор по профильной математике в онлайн-школе «100балльный репетитор»

• Окончил НИУ ВШЭ, факультет «Бизнес-информатика»
• Готовит к ЕГЭ более 13 лет
• Выпустил 41 стобалльника
• Более 930 выпускников сдали ЕГЭ на 90+ баллов
• Более 2666 сдали ЕГЭ на 80+ баллов

Ошибка 1: задание 19 

Уровень сложности: высокий

Можно получить: 4 балла

Задание состоит из трёх пунктов. В первых двух необходимо дать ответ «да» или «нет». В третьем пункте нужно провести анализ и найти наибольшее или наименьшее значение. Типов заданий номер 19 достаточно много: признаки делимости, чётность/нечётность, остатки от деления, основная теорема арифметики, последовательности и прогрессии, решение уравнений в целых числах.

Пункт (а) обычно самый простой. В большинстве заданий ответ «да», но стоит отметить, что не во всех. Чтобы решить пункт (а) нужно постараться подобрать пример, удовлетворяющий условиям задачи. Если пример найден, то в пункте ответ «да» и этот пример и есть подтверждение ответа. Если же пример не удалось найти, то, скорее всего, ответ «нет», подтверждением этого ответа будет указания противоречия с условием. По факту необходимо найти, какое условие из задания нарушается в каждом примере при поиске. 

В пункте (б) действовать необходимо аналогичным образом. Только чаще в пункте (б) встречается ответ нет. Поэтому основной задачей является именно поиск противоречия с условием.

Чаще всего основной ошибкой в этом задании является то, что ученики дают краткий ответ «да» или «нет». Поэтому крайне важно запомнить, что для ответа необходимо привести пример, подтверждающий ваш ответ «да», а для ответа «нет» необходимо привести объяснение или найти противоречие с условием. 

Для пункта (в) необходимо проанализировать условия, ввести несколько или одну переменную (чаще несколько), задать ограничения для переменных по условию задачи и найти наибольшее или наименьшее значение. Этот пункт не содержит чётких алгоритмов и требует большого количества практики. Поэтому крайне важно прокачивать свои навыки по решению этого задания в течение всего времени подготовки.

В конце обязательно нужно записать ответ для каждого пункта.

Пример задания №19

Из пары натуральных чисел (a; b), где a > b, за один ход получают пару (a + b; a - b).

а) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары (50; 9) пару, большее число в которой равно 200?

б) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары (50; 9) пару (408; 370)?

в) Какое наименьшее a может быть в паре (a; b), из которой за несколько ходов можно получить пару (408; 370).

Решение:

а) Да, можем.

Комментарий. Использовав условие задачи, попытались составить пример и нашли последовательность ходов, которая привела к нужному результату.

б) Рассмотрим последовательность из предыдущего пункта.

Можно заметить, что число, что первое и второе числа увеличиваются в два раза через ход, то есть:

Если будем умножать 50 на 2, то нам не получить 408. Соответственно, мы не получим 408 умножением числа 59 на 2. 

Если будем умножать 9 на 2, то нам не получить 370. И не получить 370 умножением числа 41 на 2. 

Значит, пару чисел (408; 370) из пары (50; 9) получить нельзя.

Комментарий. Использовав условие задачи, попытались составить пример и не нашли последовательность ходов, которая привела к нужному результату. При этом обозначили закономерность, которая присутствует в последовательности ходов. Она же и дала нам противоречие: «Если будем умножать 50 на 2, то нам не получить 408» и т.д.

в) По условию 408 — это сумма двух каких-то чисел, а 370 — это разность этих же чисел.

То есть:

Аналогично найдём пару чисел, из которых получена пара (389; 19):

Получили:

Аналогично ищем пару чисел, из которых получена пара (204; 185):

Числа получились нецелые, значит, пара (204; 185) — это исходные числа (a; b) и последовательность выглядит так:

Значит, наименьшее a = 204.

Комментарий. Ввели две переменные и нашли пару чисел. Доказали, что наименьшего значения быть не может, столкнувшись с противоречием, что исходные числа нецелые. 

Ответ: а) да; б) нет; в) 204

Вывод. Задания требуют практики и навыка верно формулировать свои мысли. Все ответы необходимо пояснять и комментировать.

Ошибка 2: задание 13

Уровень сложности: повышенный

Можно получить: 2 балла

В этом задании необходимо решить уравнение и выполнить отбор корней на заданном промежутке. 

Разберёмся с пунктом (а) или с решением уравнения. В большинстве случаев на экзамене можно встретить именно тригонометрическое уравнение. В редких случаях попадаются логарифмические или показательные уравнения. 

1) Неважно, какой вид имеет уравнение, сначала нужно обязательно найти условия ограничения или ОДЗ:

2) Далее необходимо выполнить все преобразования, которые есть в уравнении. 

• Если уравнение тригонометрическое, то необходимо применить формулы приведения, формулы двойного угла, формулы синус/косинус, суммы/разности и так далее. 
• Если же уравнение показательное или логарифмическое, то необходимо выполнить преобразование с помощью свойств степеней или логарифмов.

Важный момент. Выполнять все преобразования необходимо поэтапно. Самая большая часть ошибок совершается именно в этой части, когда выполняется несколько преобразований одновременно: именно тогда теряется знак в формулах приведения, забывается коэффициент и так далее. 

3) После всех преобразования необходимо перейти к решению уравнений. 

• Самый популярный способ решения — это метод замены.
• Второй по популярности — это разложения на множители (группировка или вынесение общего множителя).

4) Остаётся только решить простейшее и верно записать ответ. Ну и, конечно, не забыть учесть ОДЗ. 

Самое большое количество ошибок совершается на этапах 2 и 4. Поэтому на них стоит обратить особое внимание.

Теперь про пункт (б) или отбор корней. Зачастую его верно решают, но плохо оформляют, именно по этой причине многие ребята получают 0 баллов за второй пункт. Существует два способа отбора корней: на окружности и с помощью двойного неравенства.

Чтобы использовать окружность, нужно:

1) Отметить отрезок на тригонометрической окружности, который был дан в условии

2) Отметить подходящие корни на тригонометрической окружности

Можно и не показывать, как именно вы нашли корни и не отмечать на тригонометрической окружности корни, которые не входят в отрезок.

Чтобы использовать двойное неравенство, нужно:

1) При отборе корней двойным неравенством писать ≤, а не просто <. 

2) При отборе разных корней двойным неравенством менять букву.

Самое главное, не торопиться и выполнять пункт (б) аккуратно. В конце обязательно нужно записать ответ для каждого пункта.

Пример задания №13

а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [ –π; π].

Слева - решение, справа - комментарий:

Ошибка 3: задание №8

Уровень сложности: базовый

Можно получить: 1 балл

В задании необходимо с помощью графика исследовать функцию или производную. Задание не является самым сложным в первой части, но ошибок в нём много. Обычно ошибки совершаются по невнимательности. Например, забыли поставить знак минуса при нахождении значения проиозводной, пропустили отмеченную точку, включили граничные значения промежутка в ответ. В этом задании обязательно нужно сконцентрироваться и не торопиться. 

Вот план, как решить задание №8:

1) Прочитайте задание и определите, что изображено на графике. 

На рисунке может быть изображён как график функции, так и график производной. Поэтому первое, с чего нужно начать решение данного задания, – это выяснить, что конкретно изображено на графике. Это поможет не совершить ошибок по невнимательности. 

2) Разделить график на части.

В задании №8 главной информацией является связь между знаком производной и монотонностью функции. Поэтому:

• Если на графике производная, то разделить его нужно на промежутки выше оси Ох (там производная положительная) и ниже оси Ох (там производная отрицательная). 
• Если на графике функция, то разделить его нужно на промежутки возрастания и убывания.

3) Прочитать задание ещё раз и понять, что просят найти.

• Если необходимо найти значение производной в точке, то нужно построить прямоугольный треугольник и найти тангенс угла, не забывая про знак. Если точка, в которой нужно найти значение производной, находится на промежутке убывания, то добавить знак минус. 
• Если на графике необходимо найти экстремумы, то на графике производной ищем точки пересечения с осью Ох, а на графике функции необходимо найти точки смены монотонности. 
• Чтобы решить другие типы заданий, нужно использовать взаимосвязь между знаком производной и монотонностью функции: функция возрастает там, где производная положительная, и наоборот, функция убывает там, где производная отрицательная.

Не забывай внимательно читать задание, так как формулировки могут быть самыми разными: найдите количество точек, в ответе укажите сумму целых точек и т.д.

Пример задания №8

На рисунке изображён график функции 𝑦 = 𝑓(𝑥), определённой на интервале ( –7; 7). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

Решение:

1. Производная функции положительна, если функция возрастает.
2. Отметим на графике промежутки возрастания и целые точки, принадлежащие этим промежуткам: −6, −5, −3, −1, 2, 3, 4, 5. Получили 8 целых точек.

Ответ: 8

Пример задания №8

На рисунке изображён график производной функции 𝑓(𝑥), определенной на интервале (−7; 4). Найдите промежутки возрастания функции 𝑓(𝑥). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Решение:

1. Функция возрастает, если производная положительная.
2. Отметим промежутки, в которых производная положительная и целые точки, которые принадлежат этим промежуткам: −6, −2, −1, 0, 1, 2, 3.
3. Найдем сумму:

−6 + (−2) + (−1) + 0 + 1 + 2 + 3 = −3 

Ответ: −3

Что важно понять?

Во время подготовки к профильной математике очень важна поддержка опытного преподавателя, который разбирается в ЕГЭ. Потому что самостоятельно осилить все тонкости решения заданий почти невозможно.

Чтобы обеспечить себе качественную подготовку приглашаем вас ознакомиться с нашими курсами по подготовке к ЕГЭ. С нами вы сдадите ЕГЭ на желаемый результат!